丘奖 | 2022丘成桐中学科学奖数学金奖详解-环球焦点
丘成桐中学科学奖
丘成桐中学科学奖由中国著名数学大师丘成桐先生于2008年为全球华人中学生设立。原先仅数学一类奖项，如今历经十几年，已发展出：数学、物理、化学、生物、计算机、经济金融建模六大学科为基础的中学生科研创新能力培养模式。
(资料图片仅供参考)
这次，我们邀请了Dr.Locke，选取2022年数学奖金奖文章进行解析。
01
学生背景简述
Hongzhou Wu
获2022年丘成桐中学科学奖-数学金奖
来自深圳国际交流学院
Shenzhen College of International Education
该学校为深圳首家经英国剑桥国际考评部正式授权的全日制创新型国际化教育机构。
在论文中，学生没有交代论文的课题来源。但是从论文的Acknowledgements部分的介绍，学生的经历丰富，参加了斯坦福大学的数学夏令营，学习了抽象代数和Lie代数的知识。
不难推测出，该学生的选题来源其在斯坦福的数学夏令营学习的成果。并且，其在夏令营中学习的知识—量子物理属于学术研究中的热点。
思小客有话说
从背景来看，2022年数学金奖的学生有丰富的经历来为其学术课题背书，指导老师为其学校的老师，但主要还是归功于其在斯坦福数学夏令营中的经历。
并且选题内容为纯数学中抽象数学的理论推导，具有严密的逻辑性和抽象逻辑，比较受评委老师的青睐。
当然，能够使得该学生在竞赛中取得佳绩，主要还是靠出色的作品和个人的演讲能力。在丘成桐数学竞赛中，进入决赛阶段，学生对论文内容的熟悉程度、课题来源的合理性占据着主要部分。因为丘成桐数学等竞赛涉及的知识点大多远超出中学生的知识体系。
因此，需要让评委老师充分相信研究成果主要依靠学生完成，这就需要学生对知识点足够熟悉，对论文作品的背景知识有足够的了解。
下面，我们结合学生的论文，对学生能够在众多优秀作品中取得如此优异成绩的原因进行分析：
02
获奖作品解析
在这部分内容开始，我们来详细对获奖作品进行解析。首先是论文的题目和摘要部分。
在大多数形式的学术论文中，题目和摘要是其中最为关键的部分。对于纯理论推导的论文来说，摘要相对精简，因为主要是理论推导，证明的过程，在摘要中只需要介绍内容知识点及结论，必要时需要对证明方法进行介绍：
题目和摘要：
Title:
Crystals arising from the representations of quantum groups in the Gelfand-Tsetlin basis
Abstract:
In this paper, we consider irreducible finite-dimensional representations of the Drinfeld-Jimbo quantum group Uq(gln) which are expressible in the Gelfand-Tsetlin basis. Our first result is that as q → 0, the leading asymptotics of the Chevalley generators of Uq (gln) under the representations give rise to a gln-crystal structure. Our second result is an interpretation of the known cactus group symmetry of a gln crystal via simple involutions on the representations.
Keywords:
quantum groups,Gelfand-Tsetlin basis,gln-crystals,cactus groups
※ 注：因方便阅读，版式上使用了换行，正式论文撰写不换行哦！
题目：基于Gelfand Tsetlin基中量子群表示的晶体
摘要：在本文中，我们考虑了Drinfeld-Jimbo量子群Uq（gln）的不可约有限维表示，其可在Gelfand Tsetlin基中表达。我们的第一个结果是作为q→ 0，表示下Uq（gln）的Chevalley生成元的前导渐近性产生gln晶体结构。我们的第二个结果是通过对表示的简单同构来解释已知的gln晶体的对称cactus群。
关键词: 量子群,Gelfand-Tsetlin 基,gln-crystals, cactus群
03
获奖点分析
选题
Hongzhou Wu的选题是研究的是量子物理领域的理论知识，对其中的的量子群的Drinfeld-Jimbo基表达，总结得出一种有趣的晶体结构。
从题目和论文内容可以看出，这篇论文选题为纯数学的理论推导证明。在丘成桐竞赛中，更容易被评委接受。因为理论内容的基础和背景知识更容易获取。而对于应用方面的课题，通常为实际课题，为大学、研究所等单位的科研人员才能够接触的。
思客精讲
近年来，丘成桐获奖论文中，用数学课题通常与学生的校园或生活中容易接触的内容。
所以，在选题上，学生的课题来源的可靠性是十分重要的。虽然该课题的题目、内容等看起来非常抽象、高端，形式上比较复杂。但其具体内容是在已有研究的基础上建立起来的，对于这一点可以对照该作品的参考文献就可以看出。
并且，作者也指出，其研究成果中的第二点是对已知的gln晶体的对称cactus群。部分内容对照参考文献2中的内容可以看出。
该学生在其学习的抽闲代数和Lie代数知识的基础上，对相关内容进行了归纳总，并对提出的定理进行了推导。这是十分难得的，尤其是对于高中学生，这需要学生对相关知识足够熟悉，并投入大量的时间和精力进行思考，需要良好的抽象思维能力。
因此，学生在选择课题时，要充分结合自身实际情况，选择能力范围内的课题进行研究，并合理安排自身时间，保障研究的连续性，尤其对于纯理论的推导，需要一贯而成。
逻辑严密
2022年度数学金奖论文的论文结构标准，结构框架合理，思维逻辑缜密，对相关知识点的定义和定理的阐述明确，推导证明过程条例清晰。
>>>对于数学理论的推导证明：
其关键点在于理论上的创新，同时围绕创新点的基础知识和背景理论的介绍要完备，并且逻辑严密、条理清楚，能够让读者很好的理解作者提出的结论。
该获奖论文就充分的做到了这一点，其对课题相关的论文进行了仔细的研究和学习，遵循了相关论文(参考文献)中的逻辑框架。此外，也需要指导老师专业指导。
>>>对于纯理论性的数学研究课题研究：
主要依靠数学语言（符号，变量，公式）等进行阐述，形式简洁，内容更加抽象，其内容是对定理内容的阐述和解释。
作者将论文内容划分为4个部分，具体如图2.1中目录所示：
作者首先对量子群gln等基础知识进行了介绍，然后对量子群的Gelfand-Tsetlin 基表达进行了阐述，并在提出了自己的结论。
在文中第2部分和第3部分中，重点对定理1.3和定理1.7进行了证明。
最后，在第4部分的总结中对两个重要定理的逻辑思维通过一个交换图进行了阐述。此外，reference部分给出了相关的重要参考文献，为文中的内容提供了重要的基础。
图 2.1 论文目录
针对具体研究内容的阐述，作者参考了相似研究工作的阐述方法。比如对于1.1中的内容，作者参考了文献2中的阐述，如下图所示：
而在gln-crystals的介绍以及对基于Gelfand-Tsetlin基的量子群表达等内容的介绍中，我们可以看出，作者写作的框架逻辑清晰。
首先将量子群和基于Gelfand-Tsetlin基的表达等内容的数学定义进行了阐述。数学表达十分规范，清晰。而且对于相关内容的介绍，充分参考了已有的论文，这一点做的很好。
思客精讲
绝大部分高中生是没有接触过学术论文写作的，那么我们应该做的就是对课题相关的内容做好充分的调研，学习，在已有的研究成果的基础上，结合自己的研究成果来完成最终的作品。
我们是“站在巨人的肩膀上”的，所以无论是研究内容还是写作，都应该充分参考已有的研究成果。
04
论文撰写
2022年数学金奖论文在丘成桐数学竞赛中是十分典型的。
首先，论文研究内容与热点（量子物理）有关的内容。此外，论文具有一定的创新，其创新方法是在现有基础上提出的，难度比较适合高中生。基于Gelfand-Tsetlin 基的表达在其他领域也有研究，比如在symmetric group Sn等。
而该论文作者基于自己学习到的抽象数学的知识，引入到量子群上。相关定理和推导证明过程十分严谨，这与其认真的学习态度和指导老师的专业指导有着密切联系。
在论文内容的撰写方面，这篇论文作品有着极高的专业水平。我们从以下几个方面可以看出：
符号的定义
在抽象数学，尤其是涉及量子物理领域，通常会存在一些特殊的符号，作者能够准确地定义和使用相关变量和运算符号。
通过图形对推导过程和量子群的representation，Gelfand-Tsetlin pattern进行准确的表达和说明，如：
数学公式和符号的编辑
数学公式和符号的编辑。这是近年来所有丘成桐数学获奖论文中最为规范的一篇论文，尤其是涉及到数学变量和公式的部分，作者的描述和推导过程十分清晰，符号格式内容十分简洁准确。
参考文献的引用
该论文是在已有成果的基础上提出的，涉及一些定义和定理。对此，作者充分对文献进行了调研，并对相关定义，定理等内容给出了明确的出处。
尤其是，量子物理和抽象数学的相关知识比较难以理解，需要较深的专业基础。通过给出专业的参考问题，对读者理解论文内容有着重要意义。
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